luns, 10 de outubro de 2011

Multiplicación Exipcia

Nesta entrada imos a explicar o algoritmo de multiplicación utilizado antigamente polos Exipcios.
Para este exemplo, imos a realizar a multiplicación:
O método Exipcio consistía no seguinte:

Dispoñían os números en 2 columnas, na  columna da esquerda poñían o número maior, neste caso o 12; e na columna da dereita o número menor, neste caso o 9.
O fundamento do método exipcio era o de reemplazar a multiplicación de ambos números pola súa duplicación, o cal é unha operación moito máis sinxela de calcular.
Como se pode ver no debuxo inferior, a primeira fila na columna dereita comezaba sempre co número 1. O cal se ía duplicando en fases sucesivas coa condición de non superar o número que temos na parte superior da columna, neste exemplo o número 9.
Neste exemplo, en 4 etapas chegamos ata o número 8 que é onde rematamos o proceso, pois unha etapa máis nos levaría ata o número 16 que é maior que 9.

Agora vamos a facer a columna da esquerda:

A partir do número 12 (1ª etapa) vamos duplicando os números, o seguinte é o 24,  o dobre de 24 é 48 e o de 48 é 96 e ahí paramos de duplicar porque xa estarían as 4 etapas completadas.

Despois temos que sumar os números da columna da dereita de maneira que nos dean 9 que serían o 8 + 1 = 9. Para isto acabamos de seleccionar os números da e etapas.

Por isto, da columna da esquerda, sumamos os números da 1ª e 4ª etapas, é dicir,  12 + 96 = 108 que é o resultado da multiplicación de 12 x 9.



Para rematar, imos a poñer un último exemplo:
   

Multiplicación hindú

Tocounos a nós explicar o algoritmo que utilizaban os hindúes para realizar o proceso de multiplicación de dous números.
Para realizar este tipo de multiplicación, vamos a usar como exemplo a multiplicación:
456 x 34 = 15.504

É este un método baseado en construir unha táboa, que comezamos colocando o número maior na súa parte superior (coas unidades máis á dereita), asignando tantas celdas como cifras haxa, e o número menor na parte lateral esquerda, invertido (coas unidades na parte superior).

De seguido, divídese cada cela en dúas, cunhas diagonais.
O método en sí, é máis sinxelo que a nosa multiplicación, pois o seguinte paso só necesita coñecer as táboas de multiplicar, pois en cada cela poremos o resultado de multiplicar as cifras que encabezan a fila e columna respectivas.

Por exemplo: 4 x 6 = 24 ou 4 x 5 = 20.

O resultado obtido sitúase de xeito que por encima da diagonal da cela poñemos sempre as unidades e por debaixo as decenas.

Os exemplos anteriores poden verse nas dúas primeiras celas (comezando por arriba e pola dereita).
O último paso do proceso consiste en sumar as diagonais, levando sempre a cifra das decenas á seguinte diagonal á esquerda.
No exemplo, ó sumar a 2ª diagonal obtemos:
0 + 2 + 8 = 10
quedando 0 como resultado da suma da diagonal e levando 1 á seguinte,  que quedará:
6 + 2 + 5 + 1 = 14
ó que hai que sumarlle 1 que levamos da diagonal anterior quedando 15.

O resultado da suma de cada diagonal vaise poñendo na parte inferior da táboa, dando como resultado:
15.504
que coincide co resultado que obtemos co noso método de multiplicación.

Para finalizar, poñemos un último exemplo :

1532 x 435 = 818.088

xoves, 6 de outubro de 2011

Comparativa entre sistemas de numeración

Nesta entrada fixen unha clasificación dos sistemas de numeración que vimos  na clase, destacando as súas características principais e poñendo un exemplo de cada un.
Este traballo fíxeno coa folla de cálculo Calc, creando unha táboa que convertín en imaxe, para de seguido, incorporarlle as imaxes para as cifras obtidas de Google imaxes e incorporándoas coa axuda do programa Paint.
Dos sistemas mostrados na táboa anterior, só o sistema Babilónico e o Maia son sistemas posicionais (como o noso sistema decimal). Para aclarar como se poden calcular as cifras nestes 2 sistemas vou a poñer un novo exemplo no sistema de numeración Maia:
Para formar un número calquera no sistema Maia, neste caso o 5222, hai que seguir o seguinte esquema:

  • Se o número só chega ata 19 só se utiliza o primeiro recadro.
  • Se o número só chega ata 399 só se utilizan o primeiro e o segundo recadro.
  • Se o número é superior a 400 utilízase o primeiro, segundo e terceiro recadro.

Para formar o 5222 no sistema Maia, primeiro debemos saber que cifra poñer na casiña con peso 400 (é dicir, cantos 400 hai nese número): O resultado da división enteira 5222 / 400 = 13 dando de resto 22.


De seguido, debemos calcular a cifra que irá na casiña de peso 20 (é dicir, hai que buscar cantos 20 ten): O resultado da división enteira 22 / 20 = 1; dando de resto 2.

Finalmente, sabemos que na casiña das unidades debemos poñer a cifra correspondente ó 2.

O proceso en conxunto queda así: 13 x 400 = 5200 ; 1 x 20 = 20 ; 2 x 1=2

E finalmente 5200 + 20 + 2 = 5222.